TRIGONOMETRI

Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi segitga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah

$\sin A = {\mbox{a} \over \mbox{c}} \qquad \sin B = {\mbox{b} \over \mbox{c}}$

Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

Nilai sinus sudut istimewa

$\sin 0^o = 0\,$

$\sin 15^o = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 30^o = \frac{1}{2}\,$

$\sin 37^o = \frac{3}{5}\,$

$\sin 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,$

$\sin 53^o = \frac{4}{5}\,$

$\sin 60^o = \frac {\sqrt{3}}{2}\,$

$\sin 75^o = \frac {\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,$

$\sin 90^o = 1\,$

Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90^o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus adalah

$\cos A = {\mbox{b} \over \mbox{c}} \qquad \cos B = {\mbox{a} \over \mbox{c}}$

Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

Nilai cosinus sudut istimewa

$\cos 0^o = 1\,$

$\cos 15^o = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\,$

$\cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2}\,$

$\cos 37^o = \frac{4}{5}\,$

$\cos 45^o = \frac {\sqrt{2}}{2}\,$

$\cos 53^o = \frac{3}{5}\,$

$\cos 60^o = \frac {1}{2}\,$

$\cos 75^o = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\,$

$\cos 90^o = 0\,$

Nilai Tangen Sudut Istimewa

$\tan 0^o = 0\,$

$\tan 15^o = 2 - \sqrt {3},$

$\tan 30^o = \frac{\sqrt {3}}{3}\,$

$\tan 37^o = \frac{3}{4}\,$

$\tan 45^o = 1\,$

$\tan 53^o = \frac{4}{3}\,$

$\tan 60^o = \sqrt{3}\,$

$\tan 75^o = 2 + \sqrt {3},$

$\tan 90^o = \infty\,$

Hubungan fungsi trigonometri

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,$

$1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,$

$1 + \cot^2 A = \csc^2 A \,$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,$

Penjumlahan

$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,$

$\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,$

$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,$

$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,$

$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,$

$\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,$

Rumus sudut rangkap dua

$\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,$

$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,$

$\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \,$

Rumus sudut rangkap tiga

$\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,$

$\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,$

Rumus setengah sudut

$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,$

$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,$

$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,$

VEKTOR

Spasial Vektor

Sebuah vektor dari A keB

Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai

$\overrightarrow{AB}.$

Vektor berperan penting dalam fisika dan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor.

Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

$\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Kesamaan dua vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran dua vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi vektor

Perkalian skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

$r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}$

Penambahan vektor dan pengurangan vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

$\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}$

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

$\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{i}} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{j}} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{k}}$

Stabilitas Kapal

Stabilitas kapal

Stabilitas kapal adalah kesetimbangan kapal pada saat diapungkan, tidak miring kekiri atau kekanan, demikian pula pada saat berlayar, pada saat kapal diolengkan oleh ombak atau angin, kapal dapat tegak kembali.

Salah satu penyebab kecelakaan kapal di laut ,baik yang terjadi di laut lepas maupun ketika di pelabuhan, adalah peranan dari para awak kapal yang tidak memperhatikan perhitungan stabilitas kapalnya sehingga dapat mengganggu kesetimbangan secara umum yang akibatnya dapat menbyebabkan kecelakaan fatal seperti kapal tidak dapat dikendalaikan, kehilangan kesetimbangan dan bahkan tenggelam yang pada akhirnya dapat merugikan harta benda, kapal, nyawa manusia bahkan dirinya sendiri. Sedemikian pentingnya pengetahuan menghitung stabilitas kapal untuk keselamatan pelayaran, maka setiap awak kapal yang bersangkutan bahkan calon awak kapal harus dibekali dengan seperangkat pengetahuan dan keterampilan dalam menjaga kondisi stabilitas kapalnya sehingga keselamatan dan kenyamanan pelayaran dapat dicapai.

Titik penting dalam stabilitas kapal

Diagram stabilitas kapal, pusat gravitasi (G), pusat daya apung (B), dan Metacenter (M) pada posisi kapal tegak dan miring. Sebagai catatan G pada posisi tetap sementara B dan M berpindah kalau kapal miring.

Ada tiga titik yang penting dalam stabilitas kapal yaitu

G adalah titik pusat gravitasi kapal
B adalah titik pusat apung kapal
M adalah metacenter kapal

Perangkat stabilitas kapal

Ada beberapa perangkat yang digunakan untuk meningkatkan stabilitas kapal yaitu:

Sirip lambung

Sirip lunas atau disebut juga sebagai Bilge keel berfungsi untuk meningkatkan friksi melintang kapal sehingga lebih sulit untuk terbalik. Biasanya digunakan pada kapal dengan bentuk lambung V.

Tangki penyeimbang

Merupakan tangki yang berfungsi menstabilkan posisi kapal dengan mengalirkan air balast dari kiri ke kanan kalau kapal miring kekiri dan sebalikanya kalau miring kekanan.

Sirip stabiliser

Sirip stabiliser merupakan sirip di lunas kapal yang dapat menyesuaikan posisinya pada saat kapal oleng

Lat

margaretta

Jumat, 02 April 2010